REGRESIÓN DE POISSON

V. Abraira

Bibliografía:

V. Abraira, A.Pérez de Vargas
Métodos Multivariantes en Bioestadística.
Ed. Centro de Estudios Ramón Areces. 1996.

Variables de Poisson

Una variable es de Poisson cuando es el número de eventos que ocurren en un intervalo temporal o espacial de tamaño dado (s), cumpliendo las siguientes condiciones:

Ø el número de eventos que ocurren en el intervalo es independiente del número de los que ocurren fuera del mismo.

Ø existe un intervalo lo suficientemente pequeño, de tamaño h, para el que la probabilidad de que en el mismo ocurra un sólo evento es proporcional al tamaño del intervalo, es decir es lh, siendo por tanto l (constante) la probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo de tamaño unidad.

Ø la probabilidad de que en cualquier intervalo de tamaño h ocurran dos o más eventos, es prácticamente 0.

Ejemplos de este tipo de variables, con intervalos temporales, son: número de llamadas que recibe una central telefónica en una hora, número de accidentes, durante un año, en un cruce de carreteras, número de mutaciones que perduran en una especie, durante un milenio. Ejemplos con intervalos espaciales: número de células en el campo del microscopio; número de bacterias patógenas en un estanque, etc.

A veces se usan variables de Poisson con "intervalos" que no son espaciales ni temporales sino de otro tipo. Por ejemplo, para medir la frecuencia de una enfermedad se puede contar, en un tiempo dado, el número de enfermos en una cierta población, dividida en "intervalos" de, por ejemplo, 10.000 habitantes. Al número de personas enfermas en una población de tamaño prefijado, en un instante de tiempo, se le denomina prevalencia de la enfermedad en ese instante y es, por tanto, una variable de Poisson. Otra medida para la frecuencia de una enfermedad, es la incidencia, que es el número de personas que enferman en una población susceptible de enfermar, en un periodo de tiempo determinado. En este caso el intervalo es de personas-tiempo, habitualmente personas-año, y es también una variable de Poisson. Habitualmente ambas medidas se expresan para intervalos de tamaño unidad, o dicho de otro modo, en lugar de la variable número de enfermos, se usa el parámetro l (el riesgo, en el caso de la prevalencia, y la densidad de incidencia, en el de incidencia).

La función densidad de probabilidad para una variable de Poisson es:

siendo s el tamaño del intervalo. La media y la varianza de esta variable son ambas iguales a ls. La variable está caracterizada por el parámetro l (probabilidad de una ocurrencia en la unidad de medida) y por el tamaño del intervalo s.

Un modelo de regresión para una variable de Poisson es un modelo que permite estudiar si dicha variable depende, o no, de otra u otras variables. Si una variable de Poisson de parámetro l es independiente de otra variable X, se cumple , por consiguiente, un modelo de regresión es una función de l en X que a través del coeficiente de X permite investigar la relación anterior, y como en los modelos lineal y logístico, fácilmente generalizable a más variables independientes.