Función lineal

Se llama función lineal de una variable, a una función de la forma a0: ordenada en el origen (valor de Y cuando X=0) a1: pendiente (cambio de Y al aumentar X en 1)

Modelo de regresión lineal simple

Es un modelo de regresión lineal entre dos variables

es un modelo probabilístico, que también se puede escribir

A la variable Y se la denomina variable dependiente y a X independiente.

Modelo I de regresión lineal se asume que

i) X no es una variable aleatoria. ii) para cada valor xi de X existe una v.a. Y|xi cuya media está dada por el modelo. iii) todas las variables Y|xi son normales, independientes y con igual varianza.

Ejemplo 2: Se quiere estudiar la asociación entre consumo de sal y tensión arterial. A una serie de voluntarios se les administra distintas dosis de sal en su dieta y se mide su tensión arterial un tiempo después.

Variable X: gr. de sal diarios (no aleatoria)
Variable Y: presión arterial en mm. de Hg

asumimos que para cada valor de X, Y no está determinada, sino que

a₀ presión arterial media de los que no toman nada de sal.
a₁ cambio de la media de presión arterial por aumentar 1 gr el consumo de sal, asumiendo que es constante. Si fuera 0, quiere decir que la presión no cambia con el consumo de sal, por tanto ambas variables son independientes, un valor distinto de cero indica que están correlacionadas y su magnitud mide la fuerza de la asociación.

A partir de una muestra aleatoria, la teoría estadística permite:
i) estimar los coeficientes a _i del modelo (hay dos procedimientos: mínimos cuadrados y máxima verosimilitud que dan el mismo resultado).
ii) estimar la varianza de las variables Y|x_i llamada cuadrados medios del error y representada por s² o MSE. A su raíz cuadrada se le llama error estándar de la estimación.
iii) conocer la distribución muestral de los coeficientes estimados, tanto su forma (t) como su error estándar, que permite hacer estimación por intervalos como contrastes de hipótesis sobre ellos.

Ejemplo 3 : Para el diseño del ejemplo 2 una muestra produce los siguientes datos:

La "salida" de un paquete estadístico es:

86,371 presión arterial media sin nada de sal.
6,335 aumento de presión por cada gr de sal; como es distinto de 0 indica correlación. La pregunta es ¿podría ser 0 en la población? En términos de contrastes de hipótesis

H₀ : a₁ = 0
H₁ : a₁ ¹ 0

según iii)

aquí t=7,546 con un valor p=0,002

se rechaza H₀.

Para hacer estimación por intervalos de la fuerza de la asociación o el efecto

en este ejemplo para a ₁ al 95%

6,335 ± 2,776x0,840 = (4,004 8,666)

y del mismo modo se ha calculado en la salida anterior, aunque en general tiene menos interés, para a₀