Estimación de los coeficientes y contrastes de hipótesis

Para estimar los coeficientes por el método de máxima verosimilitud es necesario construir la función de verosimilitud. Para ello hay varios métodos, pero el primero históricamente y el más general es el debido a Cox y se basa en la función de verosimilitud parcial: y parte de que dado que el modelo no hace ninguna asunción sobre h0(t), la única contribución de los datos a la verosimilitud es en los tiempos en que se observan eventos.

Los cálculos necesarios para la estimación son muy largos, sobre todo cuando para algún tiempo hay más de un evento. Los paquetes estadísticos suelen usar una aproximación (aproximación de Peto) que es buena cuando, para cada tiempo, el número de eventos es pequeño comparado con los individuos en riesgo.

Teniendo en cuenta que los estimadores lo son por máxima verosimilitud, los contrastes de hipótesis sobre cada coeficiente se hacen usando su normalidad asintótica (prueba de Wald) y los contrastes de hipótesis sobre el modelo completo o sobre un conjunto de coeficientes con el logaritmo del cociente de verosimilitudes (exactamente igual que en regresión logística).

Es decir y resumiendo un poco, un intervalo de confianza al (1- a)% para el coeficiente ai es:

En regresión de Cox los estimadores de la asociación no son los coeficientes ai sino los riesgos relativos, por lo tanto los intervalos de confianza que interesan calcular son los de los riesgos relativos. Dichos intervalos están dados por:

El estadístico para el contraste:

H0: ai = a
H1:
ai ¹ a siendo a una constante, es:

y la región crítica: |z| > za/2

o equivalentemente:

que se distribuye como una ji-cuadrado con 1 grado de libertad y, por tanto, la región crítica para el contraste es . A estos contrastes se les denominan contrastes de Wald.

Un contraste que interesa realizar es a1= 0; el que no se pueda rechazar esta hipótesis indica que el riesgo no depende de la variable X.

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