Modelo de riesgo proporcional (Cox)

Hasta aquí se han estudiado métodos que permiten estimar las funciones de riesgo y supervivencia para una muestra aleatoria y comparar dos o más estimaciones. El objetivo ahora es plantear un modelo de regresión para el riesgo, o la supervivencia, en función de variables "explicatorias", que permita comparar dichas estimaciones, teniendo en cuenta el efecto de otras variables distintas de la que se utiliza para definir los grupos.

Por ejemplo, la supervivencia a dos tratamientos alternativos puede depender no sólo del tratamiento, sino también de otras variables como la edad, el sexo, o la gravedad de la afección de cada paciente. En los métodos previos se asume que el muestreo aleatorio hace que los distintos grupos sean homogéneos con respecto a todas las demás variables, sin embargo no siempre es así (el muestreo aleatorio sólo garantiza que las muestras homogéneas sean las más probables) y, por otro lado, a veces interesa estimar la supervivencia para distintos valores de las otras variables. Los modelos de regresión permiten hacer ambas cosas.

Hay varios modelos de regresión propuestos, como el llamado modelo acelerado en que se asume que la función de supervivencia es una función del tiempo y de otras k variables (representadas por el vector, de dimensión k, X) de la siguiente forma:

siendo F (X, a) una función de X con unos coeficientes α, que serían los coeficientes a estimar para el modelo.

Otros modelos asumen algunas de las funciones de supervivencia vistas antes planteando el modelo de regresión para los parámetros de las funciones.

Sin embargo, el modelo más popular, por su sencillez y facilidad para interpretar los coeficientes a, es el denominado modelo de riesgo proporcional o modelo de Cox que es un modelo de la forma

Es decir, h0(t) es el riesgo cuando todas las variables Xi son 0, o riesgo basal, que es variable con el tiempo.

Otra manera equivalente de expresarlo es:

es decir, el modelo plantea el logaritmo del riesgo relativo como una función lineal de las variables independientes. Se supone, por lo tanto, que el riesgo relativo, a diferencia del riesgo propiamente dicho, no depende del tiempo o, dicho de otra manera, que es constante a lo largo del tiempo (de ahí el nombre de modelo de riesgo proporcional).

La forma anterior hace explícita la interpretación de los coeficientes: ai es el logaritmo del riesgo relativo cuando Xi aumenta una unidad, manteniéndose constantes las demás variables, y por tanto, exp( ai) es el riesgo relativo cuando Xi aumenta una unidad, manteniéndose constantes las demás.

Nótese que el modelo no depende de cómo sea h0(t), podría ser de cualquiera de las formas vistas antes u otras, la única asunción es que el riesgo relativo al aumentar una unidad cada variable es constante (exp( ai)) en todo tiempo. Hay que destacar que esta asunción no siempre es razonable y conviene evaluarla en cada caso, por ejemplo, con gráficas que representen el logaritmo de los riesgos para distintos valores de las variables Xi en función del tiempo, cuando el riesgo es proporcional deben ser paralelas.

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