Estimación por intervalos y contrastes de hipótesis sobre los coeficientes

Teniendo en cuenta lo anterior , un intervalo de confianza al (1- a )% para el coeficiente a i es:

Hay que tener en cuenta que los estimadores habituales de la asociación no son los coeficientes a i sino los odds ratio, por lo tanto los intervalos de confianza que interesan calcular son los de los odds ratio. Evidentemente dichos intervalos están dados por:

El estadístico para el contraste:

H0: ai= a
H1:
ai ¹ a  siendo a una constante, es:

y la región crítica: |z| > za/2

o equivalentemente:

que se distribuye como una ji-cuadrado con 1 grado de libertad y, por tanto, la región crítica para el contraste es . A estos contrastes se les denominan contrastes de Wald.

Un contraste que interesa realizar es a1=0; si no se puede rechazar esta hipótesis indica, salvo problemas de potencia del contraste, que la variable Y no depende de X.

Ejemplo 5: Estimar por máxima verosimilitud los parámetros del modelo logístico para los datos del ejemplo 1.

Para realizarlo con un paquete estadístico hay que partir de un archivo en que los datos estén individualizados, es decir un archivo con 40 casos (los enfermos) con dos variables una para el tratamiento con los valores 0 y 1 y otra para el resultado, también con dos valores 0: no curación y 1: curación. Sería, por tanto:

Curación Tratamiento  
1 0  
. . 13 casos
1 0  
0 0  
. . 7 casos
0 0  
1 1  
. . 18 casos
1 1  
0 1  
0 1 2 casos

y el resultado del procesamiento:

Nótese que la estimación del OR coincide con las obtenidas en el ejemplo 1. El programa ofrece además de las estimaciones de los coeficientes, sus exponenciales, es decir, el odds para X=0 (1,857) y el odds ratio (4,846), así como la ji-cuadrado (prueba de Wald) y su valor p asociado para los contrastes H0: ai=0. Calcula también el intervalo de confianza con un nivel de confianza del 95% para el odds ratio; el hecho de que el intervalo de confianza incluya el 1 es un modo de ver que, con ese nivel de confianza, no hay diferencia significativa entre ambos tratamientos, totalmente equivalente al contraste sobre a1 (p=0,073).

Ejemplo 6: En un estudio para ver la dependencia de la dosis en el efecto de un veneno, se seleccionan aleatoriamente 4 grupos de 4 animales cada uno a los que se suministran distintas dosis (0, 1, 2, 3) del mismo y se observan las muertes provocadas. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

Dosis 0 1 2 3

Muertes

0 1 3 3

El resultado de la estimación para la regresión logística es:

El estimador del odds para la dosis 0 (es decir del cociente de la probabilidad de que un animal muera y la probabilidad de que no muera, en el tiempo del experimento, si no se le suministra veneno) es 0,068 (es más probable que sobreviva) aunque no es significativamente distinto de 1 (p=0,052). El estimador del odds ratio para el aumento de una dosis es 4,539 (es decir el odds se multiplica por esa cantidad por cada aumento de dosis) y es significativamente distinto de 1 (p=0,036).

¿Cuál sería el odds para la dosis 2? Se calcula:

también, evidentemente, se puede calcular como:

(la diferencia en la tercera cifra decimal es debida a problemas de precisión)

Para realizar el contraste de si es significativamente distinto de 1 hay que estimar su varianza:



y, por tanto el estadístico para el contraste:



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