Modelo II de regresión lineal
Se
asume que las variables X e Y son ambas variables aleatorias y que su fdp
conjunta es normal bivariante.
La normal bivariante es una extensión
a dos dimensiones de la normal univariante. Su representación gráfica
es una campana tridimensional. Depende de 5 parámetros:
mx,
my,
sx,
sy
y r
que son respectivamente las medias, las desviaciones típicas de
X e Y, y su coeficiente de correlación. Dicho coeficiente
se define como
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Siendo
el numerador la llamada covarianza
Las
propiedades de la normal bivariante son:
i) las fdps marginales son ambas normales con medias mx,
my
y desviaciones típicas x,
sy
respectivamente.
ii) las fdps condicionadas f(y|x) son también normales con medias y
varianzas
obsérvese que la media depende linealmente
de x, es decir, también se puede escribir
iii) simétricamente las fdps f(x|y)
A partir de una muestra aleatoria se pueden
estimar los coeficientes por los mismos procedimientos que en el modelo I y ¡¡se
obtienen los mismos resultados!! Ahora, sin embargo, también se obtiene un
estimador para el coeficiente de correlación (la "famosa" r)
que no tiene sentido en el modelo I.
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