Problemas de probabilidad resueltos:

1º Una mujer es hija de una portadora de la enfermedad de Duchenne. Dicha mujer tiene tres hijos varones sin la enfermedad. Calcular la probabilidad de que ella sea portadora de la enfermedad.

Si representamos por x el gen alterado y por X el gen normal, el espacio muestral para el nacimiento de la mujer W ={xX, XX}, cada suceso elemental con la misma probabilidad (1ª ley de Mendel). Por tanto, si A = {xX} = {la mujer es portadora}, según la definición clásica de probabilidad p(A) = 1/2.
Si la mujer fuera portadora, los posibles genotipos para sus hijos son xX, xY, XX, XY, todos con la misma probabilidad. El espacio muestral para el nacimiento de un hijo varón es W ={xY, XY}, por tanto la probabilidad de que un hijo varón no tenga la enfermedad es 1/2 (también según la definición clásica). Cómo los genotipos de los sucesivos hijos son independientes (2ª ley de Mendel), y de acuerdo a la definición de independencia, la probabilidad de que los 3 hijos varones no tengan la enfermedad es (1/2)x(1/2)x(1/2) = 1/8. Obviamente si la mujer no fuera portadora, la probabilidad de que los 3 hijos varones no tengan la enfermedad es 1.
Como el suceso A = {la mujer es portadora} y su complementario A^c = {la mujer no es portadora} forman una partición, se puede aplicar el teorema de Bayes en relación con el suceso B = {los 3 hijos varones no tienen la enfermedad}

2º Una prueba diagnóstica para el cáncer uterino tiene un coeficiente falso-positivo de 0,05 y falso-negativo de 0,10. Una mujer con una probabilidad pre-prueba de padecer la enfermedad de 0,15 tiene un resultado negativo con la misma. Calcular la probabilidad de que no esté enferma.

Solución

Sea NE = {la mujer no está enferma}, + = {el resultado de la prueba es positivo} y - = {el resultado de la prueba es negativo}. La pregunta pide p(NE|-). Los datos que se dan son p(+|NE)=0,05; p(-|E)=0,10 y p(E)=0,15. Del primero se deduce que p(-|NE)=0,95 y del último p(NE)=0,85, por lo tanto aplicando el teorema de Bayes