Identidad de la suma de cuadrados

La suma de cuadrados total en un anova de 2 vías, es:

(donde para representar las medias se ha usado la convención habitual de poner un punto (.) en el lugar del subíndice con respecto al que se ha sumado) que dividida por sus grados de libertad, abn - 1, estima la varianza s2 en el supuesto de que las ab muestras provengan de una única población.

Se puede demostrar que

que es la llamada identidad de la suma de cuadrados en un anova de dos factores. Los sucesivos sumandos reciben respectivamente el nombre de suma de cuadrados del 1º factor (tiene a -1 grados de libertad y recoge la variabilidad de los datos debida exclusivamente al 1º factor), del 2º factor (con b -1 grados de libertad y recoge la variabilidad de los datos debida exclusivamente al 2º factor), de la interacción (con (a - 1)(b - 1) grados de libertad, recoge la variabilidad debida a la interacción) y del error (con ab(n - 1) grados de libertad, recoge la variabilidad de los datos alrededor de las medias de cada muestra).

Los resultados de un análisis de la varianza de dos factores se suelen representar en una tabla como la siguiente:

Fuente de variación
GL
SS
MS
1º factor
a - 1
SSA
SSA/(a - 1)
2º factor
b - 1
SSB
SSB/(b - 1)
Interacción
(a - 1)(b - 1)
SSAB
SSAB/[(a - 1)(b - 1)]
Error
ab(n - 1)
SSE
SSE/[ab(n - 1)]
Total
abn - 1
SST

Los grados de libertad también son aditivos.

En ocasiones se añade una primera línea llamada de tratamiento o de subgrupos cuyos grados de libertad y suma de cuadrados son las sumas de los del primer, segundo factor y la interacción, que corresponderían a la suma de cuadrados y grados de libertad del tratamiento de un análisis de una vía en que las ab muestras se considerarán como muestras de una clasificación única.

Para plantear los contrastes de hipótesis hay que calcular los valores esperados de los distintos cuadrados medios.

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