La función exponencial está definida por:

Usando las relaciones entre las tres funciones las funciones de supervivencia y riesgo para esta variable son

es decir, el riesgo es constante a lo largo del tiempo. A esta propiedad característica de la función exponencial se le suele llamar pérdida de memoria, y es la propiedad que permite evaluar gráficamente si la función exponencial es un modelo adecuado para unos datos.

Si un proceso es de Poisson (suceso raro y aleatorio en el tiempo), la variable “tiempo hasta que ocurra el primer suceso” es exponencial, por esta razón esta función es muy usada en control de calidad donde se puede asumir procesos Poisson (p.e. la vida de los componentes electrónicos en un aparato, el tiempo de espera en una consulta sin cita previa, o la vida de los vasos de vidrio en un bar, siguen esta distribución) y poco en Ciencias de la Salud, aunque se ha usado, por ejemplo, para estudiar supervivencia a la arteritis(1).

Es útil que señalar que, dentro de esta relación entre las funciones exponencial y de Poisson, el parámetro es la media de la variable de Poisson “número de sucesos en la unidad de tiempo”.

El estimador del parámetro de la función y su varianza son

siendo d el número de eventos observados

Ejemplo 4

Calcúlese para los datos del ejemplo 1 la función de supervivencia estimada, asumiendo un modelo exponencial, y realícese la prueba para la bondad del ajuste.

La salida de un paquete estadístico (PRESTA), eligiendo 4 intervalos para la prueba de la bondad de ajuste es:

En la gráfica se muestran las funciones de riesgo y supervivencia asumiendo el modelo exponencial (línea continua) y las estimaciones puntuales obtenidas por el método de Kaplan-Meier (aspas). Visualmente se observa que el modelo no es satisfactorio: las estimaciones puntuales de la función de riesgo están muy alejadas de la recta horizontal que corresponde al modelo exponencial.

Ejemplo 5

Compárese, usando el modelo exponencial, las funciones de supervivencia para los datos de la tabla, donde en la columna “Perdida” figura 0 para muerte y 1 para pérdida, en “Trata” 1 y 2 para indicar dos tratamientos distintos y en “Tiempo” el tiempo en meses. Además figura la edad en años al comienzo del tratamiento, que se usará más adelante.

La salida del PRESTA para este problema

Ahora, con un tamaño muestral mayor no hay discrepancia entre ambas pruebas para la bondad del ajuste, las dos indican un buen ajuste. En la figura se presentan las gráficas (líneas continuas: estimaciones de las funciones usando el modelo exponencial y aspas y cuadrados: el método de Kaplan-Meier) y se observa que el ajuste es muy satisfactorio.

Es decir, con ambos tratamientos el modelo exponencial es adecuado, o sea el riesgo se mantiene constante a lo largo del tiempo, siendo para el tratamiento 1 y para el 2, dicho de otro modo, con el tratamiento 1 se producen en promedio 0,048 fallecimientos al mes y con el 2 se producen 0,089. Para comparar las curvas se puede usar la diferencia de los parámetros estimados como estadístico para el contraste, ya que su distribución muestral es asintóticamente normal con media 0 y varianza la suma de varianzas. En este caso:

que comparándolo con el valor crítico z_0,025= 1,96 permite rechazar la hipótesis nula de igualdad.

M.A.González-Gay, R.Blanco, V.Abraira, C.García-Porrúa, D.Ibáñez, M.T.Rigueiro, A.Sánchez-Andrade, J.Guerrero, E.Casariego. Giant cell arteritis in Lugo, Spain, is associated with low longterm mortality. Journal of Reumathology.24:2171-2176. (1997).