Método actuarial

Hay ocasiones en que no se dispone de observaciones individuales de los eventos, sino de observaciones agrupadas por intervalos temporales o, incluso, aunque se disponga de las mismas se agrupan para compactar su presentación. Por ejemplo, los datos de mortalidad para un país durante una década se suelen agrupar en intervalos anuales, en las denominadas tablas de vida o actuariales, de modo que no se dispone del tiempo de fallecimiento de cada individuo, sino del número de fallecidos en cada intervalo, en este caso anual.

Supóngase que hay k intervalos, al principio de cada intervalo Ii, existen ni individuos en riesgo, y durante el mismo se producen mi pérdidas y di eventos. Por lo tanto, en el conjunto del intervalo el número de individuos en riesgo es variable, asumiendo que las pérdidas se producen homogéneamente a lo largo del mismo, su número promedio es ni – mi /2 y, en consecuencia, el estimador del riesgo para el intervalo será:

sustituyendo este valor en las fórmulas previas, es decir cambiando en las mismas ni por ni - mi/2 se obtienen los estimadores para la función de supervivencia y su varianza. A este método se le conoce como método actuarial.

Con los datos del ejemplo 1, definiendo intervalos de 5 años, las tablas de vida, obtenidas con el SPSS, son

This subfile contains: 12 observations

Life Table
    Survival Variable TIEMPO


Intrval
Start
Time
Number
Entrng
This
Intrval
Number
Wdrawn
During
Intrval
Number
Exposd
to
Risk
Number
of
Trmnl
Events
Propn
Termi-
nating
Propn
Sur-
viving
Cumul
Propn
Surv
at End
Proba-
bility
Densty
Hazard
Rate
,0  12,0  ,0  12,0  ,0  ,0000  1,0000  1,0000  ,0000  ,0000 
5,0  12,0  1,0  11,5  3,0  ,2609  ,7391  ,7391  ,0522  ,0600 
10,0  8,0  1,0  7,5  2,0  ,2667  ,7333  ,5420  ,0394  ,0615 
15,0  5,0  1,0  4,5  2,0  ,4444  ,5556  ,3011  ,0482  ,1143 
20,0  2,0  ,0  2,0  2,0  1,0000  ,0000  ,0000  ,0602  ,4000 

The median survival time for these data is 15,87

Intrval
Start
Time
SE of
Cumul
Sur-
viving
SE of
Proba-
bility
Densty
SE of
Hazard
Rate
,0  ,0000  ,0000  ,0000 
5,0  ,1295  ,0259  ,0342 
10,0  ,1525  ,0248  ,0430 
15,0  ,1526  ,0288  ,0774 
20,0  ,0000  ,0305  ,0000 

Donde la primera columna (“ Intrvl Start Time ”) contiene el tiempo inicial del intervalo; la segunda (“Number Entrng this Intrvl”) el número de individuos en riesgo al inicio del intervalo (ni); la siguiente (“Number Wdrawn this Intrvl”) el número de pérdidas (mi); la siguiente (“ Number Exposd to Risk”) el número de individuos en riesgo en el intervalo (ni – mi /2); la siguiente (“Number of Termnl Events ”) el número de eventos (di); la siguiente (“Propn Terminating”) la función de riesgo (hi) en el intervalo, la siguiente (“ Propn Surviving”) su complementario (1 - hi) que estima la probabilidad de que no ocurra el evento en el intervalo condicionada a que no ocurrió antes; la siguiente (“Cumul Propn Surv at End ”) la función de supervivencia (Si), la siguiente (“Probability Densty”) la función densidad de probabilidad (fi) por unidad de tiempo. Se estima usando las relaciones entre las funciones vistas anteriormente y dividiendo por la anchura del intervalo, es decir, si la anchura del intervalo i fuera bi (en el ejemplo bi = 5 en todos los intervalos)

La última columna (“Hazard Rate”) es la función de riesgo por unidad de tiempo, estimada en el punto medio del intervalo por la fórmula



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