Propiedades del coeficiente de correlación

i) número sin dimensiones entre -1 y 1.
ii) si las variables son independientes r=0. La inversa no es necesariamente cierta, aunque si las variables son normales bivariantes sí.
iii) si las variables estuvieran relacionadas linealmente r=1

Un contraste que interesa realizar en un modelo II es H₀: r=0. Como

este contraste es totalmente equivalente al realizado sobre dicho coeficiente, aunque también hay tablas basadas en que una cierta transformación (de Fisher) de r se distribuye aproximadamente como una normal.

¿Qué mide r?

Se puede demostrar una relación algebraica entre r y el análisis de la varianza de la regresión de tal modo que su cuadrado (coeficiente de determinación) es la proporción de variación de la variable Y debida a la regresión. En este sentido, r² mide el poder explicatorio del modelo lineal.

¿Qué no mide r?

- no mide la magnitud de la pendiente ("fuerza de la asociación")

- tampoco mide lo apropiado del modelo lineal

Potencia de los contrastes en regresión

Los contrastes se realizan en base al conocimiento de la distribución muestral del estadístico usado. En el caso de la regresión, las distribuciones usadas son la normal (para r) y la t de Student (para los coeficientes). Sólo para la normal es fácil el cálculo de la potencia, pero sabemos que la t tiende asintóticamenta (para muestras grandes (>30 en la práctica) a la normal. Usaremos esto.

1- b = p(rechazar H_o| H_o falsa)

Supongamos que

asumamos normalidad ¿qué potencia tiene el contraste si a₁ fuera 5 (recordar que se necesita concretar H₁)?

¿Cuándo rechazamos H₀ al 95%?

Cuando

en nuestro caso mayor que 4,92. Como no lo es, no rechazamos H₀. Hay que calcular la probabilidad de encontrar

si a₁ fuera 5. Calculamos

y lo miramos en la tabla de la normal 1- b =0,512=51,2%.