Teorema de Bayes

Si los sucesos A_i son una partición y B un suceso tal que p(B) ¹ 0

Demostración

Aplicaciones

Diagnóstico médico (en general clasificaciones no biunívocas): El diagnóstico consiste en establecer la enfermedad de un paciente, a partir de una serie de síntomas. Pero los síntomas y las enfermedades no están ligados de un modo biunívoco.

Llamemos E_i al conjunto de enfermedades
E₁: tuberculosis pulmonar; E₂ :cáncer de pulmón; E₃: bronquitis obstructiva; etc.
y S_i a los síntomas y síndromes asociados con las mismas.
S₁: tos; S₂: estado febril; S₃: hemotisis; etc.
La información accesible en los libros de patología, o en un archivo de historias clínicas es del tipo.
Para E₁: algunos (digamos el 20%) tienen hemotisis; muchos (80%) tienen tos; etc.
y lo mismo para las demás enfermedades.

En términos de probabilidad condicionada, esta información es
p(S₃|E₁) = 0,2; p(S₁|E₁) = 0,8 etc.
para diagnosticar la tuberculosis se ha de evaluar, para los síntomas que presenta el paciente p(E₁|S_i) para lo que se puede usar el teorema de Bayes si las enfermedades forman una partición (son mutuamente excluyentes y se consideran todas las enfermedades compatibles con el síntoma) y se conocen sus prevalencias.

Nótese que un mismo conjunto de síntomas podría dar lugar a un diagnóstico diferente en poblaciones en las que las prevalencias fueran diferentes.

Pruebas diagnósticas: Supóngase una prueba diagnóstica, por ejemplo nivel de glucosa en sangre, en ayunas, para diagnosticar la diabetes. Se considera que la prueba es positiva si se encuentra un nivel por encima de un cierto valor, digamos 120 mg/l.

Para evaluar la prueba, (habrá que hacerlo para distintos valores de corte) se somete a la misma a una serie de individuos diabéticos diagnosticados por otro procedimiento (el patrón de oro o "gold standar") y a una serie de individuos no diabéticos. Los resultados se pueden representar en una tabla de doble entrada

Si la prueba fuera perfecta b=c=0, desgraciadamente nunca ocurre. Se denomina coeficiente falso-positivo (CFP) al cociente c/t, y es una estimación de la probabilidad condicionada p(+|NE), se denomina coeficiente falso-negativo (CFN) al cociente b/u, y es una estimación de la probabilidad condicionada p(-|E). Estos dos coeficientes cuantifican los dos errores que la prueba puede cometer y caracterizan a la misma. Simétricamente, los coeficientes que cuantifican los aciertos son la sensibilidad, p(+|E), y la especificidad p(-|NE).

Cuando la prueba se usa con fines diagnósticos (o de "screening") interesa calcular p(E|+) y/o p(NE|-).

Como E y NE son una partición, usando el Teorema de Bayes

Nótese que ambas dependen de la prevalencia de la enfermedad: una prueba diagnóstica que funciona muy bien en la clínica Mayo, puede ser inútil en el Hospital Ramón y Cajal.

Ejemplo 9:

una prueba diagnóstica para la diabetes tiene un CFP de 4% y un CFN del 5%. Si la prevalencia de la diabetes en la población donde se usa es del 7% ¿cuál es la probabilidad de que sea diabético un individuo en el que la prueba dé positiva? y ¿de que no lo sea uno en el que dé negativo?

p(+|NE) = 0,04 Þ p(-|NE) = 0,96
p(-|E) = 0,05 Þ p(+|E) = 0,95
p(E) = 0,07 Þ p(NE) = 0,93

Pruebas en serie: Cuando se aplican pruebas en serie, para cada prueba p(E) y p(NE), serán la p(E|+) y p(NE|+) de la prueba anterior (si dio positiva) o p(E|-) y p(NE|-) si dio negativa.