REPASO
DE ALGEBRA DE CONJUNTOS
V.Abraira
Definiciones
Dado un conjunto A={a, b, c,
d}, la relación de pertenencia se representa por a Î
A.
Se llama cardinal
del conjunto, y se representa car(A), al número de elementos que
contiene.
Se llama conjunto
vacío, y se representa por Æ,
al conjunto que no contiene
ningún elemento. No desespere, estamos de acuerdo en que si no
contiene ningún elemento, no es un conjunto, sin embargo su definición
como tal es muy útil.
Se llama universo
o conjunto universal, y se suele representar por H, al conjunto
formado por todos los elementos que se están considerando.
Dado un conjunto
A, se llama complementario del mismo, y se representa por Ac,
al conjunto formado por los elementos del universo que no son de A.
Dos conjuntos
son iguales si están formados por los mismos elementos.
Se dice que
B es subconjunto de A, y se representa B Ì
A, si todos los elementos de B pertenecen a A. Se dice también
que B está incluido en A.
Dados dos conjuntos
A y B, se llama unión de ambos, y se representa A È
B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B.
Ejemplo 1: A={a, b, c, d} B={c,
d, e, h}
A È
B = {a, b, c, d, e, h}
Ejemplo 2: C={personas obesas} D={personas
hipertensas}
C È
D = {personas obesas o hipertensas}
Se llama intersección y se
representa A Ç
B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B.
Ejemplo 3: para los conjuntos anteriores
A Ç
B = {c, d} C Ç
D = {hipertensos y obesos}
Si dos conjuntos no
tienen elementos comunes, se llaman disjuntos y su intersección
es el conjunto vacío. Si, para el ejemplo 2, en el universo que
se está considerando no hay nadie que sea hipertenso y obeso C
Ç
D = Æ
Al conjunto
formado por todos los subconjuntos de un conjunto dado se le denomina
conjunto de las partes del conjunto o álgebra y se representa
por P(A)
Ejemplo: A = {1, 2, 3}
P(A) = {Æ
,
{1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
Propiedades
Propiedades de la inclusión
i) A Ì
A
ii) Æ
Ì A
iii) A Ì
B Þ
B Ë
A ; sólo si A = B
iv) A Ì
B y B Ì
D ==> A Ì
D
Propiedades de la unión e intersección
i) Identidad |
A
È
Æ
= A |
A
ÇH
= A |
ii) Idempotencia |
A
È
A = A |
A
Ç
A = A |
iii) Commutatividad |
A
È
B = B È
A |
A
Ç
B = B Ç
A |
iv) Asociatividad |
(A
È
B) È
D = A È
(B È
D) |
(A
ÇB)
Ç
D = A Ç
(B Ç
D) |
v) Distributividad |
(A
È
B) Ç
D = (A ÇD)
È
(B Ç
D) |
(AÇB)
È
D = (A È
D) Ç
(B È
D) |
vi) Absorción |
A
È
(A Ç
B) = A |
A
Ç
(A È
B) = A |
vii)
Complementaridad | A
È
Ac = H |
A
Ç
Ac = Æ |
Nota:
A todo conjunto en el que se
hayan definido dos operaciones que tengan estas propiedades, se le denomina
Algebra de Boole.
Función
de conjunto: toda regla
que de un modo perfectamente determinado haga corresponder un número
real a cada elemento del conjunto. Se representa por
f: A ®
Â
el número x que le corresponde al
elemento a, se representa por x=f(a)
Se denomina
imagen de la función al conjunto de números que están
en correspondencia con algún elemento, a través de la función.
im f = { x ÎÂ;
a Î
A , f(a)=x }
|